Contoh Soal Deret Geometri dan Penyelesaiannya

Contoh Soal Deret Geometri dan Penyelesaiannya | Kesempatan kali ini saaya akan memberikan soal deret geometri dan pembahasannya. Materi inii merupakan salah satu materi yang sangat penting pada mata pelajaran matematika. Oleh karena itu temen-temen sebaiknya tidak meninggalkan membahas soal-soal. Berikut ini adalah sedikit penjelasan tentang Deret Geometri.


Apa itu Deret Geometri ?

Sama halnya seperti deret aritmatika yang merupakan jumlah dari barisan aritmatika, maka deret geometri adalah hasil penjumlahan dari nilai suku suku sebuah barisan geometri. Deret geometri dikenal juga dengan sebutan deret ukur. Oke, langsung saja simak beberapa contoh soal berikut ini.

Contoh Soal Deret Geometri dan Penyelesaiannya I

sumber : matematika-go.blogspot.com

Jumlah dari n suku pertama suatu barisan geometri disebut sebagai deret geometri. Jika suku ke-n dari barisan geometri dirumuskan: an = a1rn – 1, maka deret geometri dapat dituliskan sebagai,




Jika kita mengalikan deret tersebut dengan –r kemudian menjumlahkannya dengan deret aslinya, kita mendapatkan








Sehingga kita memperoleh Sn – rSn = a1 – a1rn. Dengan menyelesaikan persamaan tersebut untuk Sn, kita mendapatkan












Rumus suku ke n

sukuken

Contoh Soal:

  1. Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret 32 + 16 + 8 + ….!
  2. Tentukan nilai n yang memenuhi2 + 22 + 23 + ….. + 2n = 510!
Jawab:

1. Dari deret 32 + 16 + 8 + .... didapat a = 32 dan r = 1/2, sehingga
jawab%2B11
















2. Dari deret 2 + 22 + 23 + ….. + 2n = 510 didapat a = 2 dan r = 2, sehingga

Jawab%2B22














Soal No. 3
Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut.
3 + 6 + 12 + ....
Tentukan suku ke-5 dari deret tersebut!
Pembahasan
Rumus suku ke-n deret geometri
Un = arn −1

dimana
a = suku pertama
r = rasio

Dari soal
a = 3
r = 6/3 = 2

sehingga
Un = arn−1
U5 = 3 (2)5 −1 = 3 (2)4 = 3(16) = 48


Soal No. 4
Diketahui suku pertama suatu deret geometri adalah 4 dengan suku ke-5 adalah 324. Tentukan rasio dari deret tersebut!

Pembahasan
Data dari soal di atas
U5 = 324
a = 4

Dari Un = arn −1


















Dengan demikian rasionya adalah 3 atau − 3

Soal No. 5
Deret geometri 12 + 6 + 3 + ....
Tentukan U3 + U5

Pembahasan
U3 = 3
a = 12
r = 6/12 = 1/2

Un = arn −1
U5 = 12(1/2)5 −1 = 12(1/2)4 = 12(1/16) = 12/16 = 3/4

Sehingga
U3 + U5 = 3 + 3/4 = 3 3/4

Soal No. 6
Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut.
3 + 6 + 12 + ....
Tentukan jumlah 7 suku pertama dari deret tersebut!

Pembahasan
Data:
a = 3
r = 6/3 = 2
S7 =....

Rumus mencari jumlah n suku pertama deret geometri untuk rasio lebih besar dari satu r > 1


Sehingga:










Soal No. 7
Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut.
24 + 12 + 6 +...
Tentukan jumlah 7 suku pertama dari deret tersebut!

Pembahasan
Data:
a = 24
r = 12/24 = 1/2
S7 =....

Rumus mencari jumlah n suku pertama deret geometri untuk rasio lebih kecil dari satu r < 1

 Sehingga:


 


















soal no 8


Seutas tali dibagi menjadi 5 bagian yang panjangnya membentuk barisan geometri.
Jika tali yang paling pendek adalah 10 cm dan tali yang paling panjang adalah 160 cm, tentukan panjang tali semula.
Penyelesaian:
Diketahui potongan-potongan tali membentuk barisan geometri, dengan:
panjang tali terpendek = U1 = a = 10
panjang tali terpanjang = U5 = ar4 = 160
banyak bagian tali = n = 5
Ini berarti panjang tali semula adalah jumlah panjang kelima bagian tali (S5).
Mula-mula tentukan nilai r dengan mengganti a = 10, n = 5 dan U5 = 160 ke rumus Un.
SOAL DAN PEMBAHASAN PENERAPAN BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Selanjutnya tentukan panjang panjang tali semula (S5) yaitu
SOAL DAN PEMBAHASAN PENERAPAN BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Jadi, panjang tali semula adalah 310 cm.

soal no 9

Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 4 meter. Kemudian bola tersebut memantul kembali setinggi 3 meter dan seterusnya. Setiap kali menyentuh lantai, bola tersebut akan memantul setinggi 3434 kali ketinggian sebelumnya. Tentukan panjang lintasan yang terbentuk sampai bola menyentuh lantai untuk yang ke-3 kalinya.
Penyelesaian:
Perhatikan ilustrasi berikut.
SOAL DAN PEMBAHASAN PENERAPAN BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Berdasarkan ilustrasi, tampak bahwa ketika bola dijatuhkan dan menyentuh lantai untuk yang ke 3 kali sesungguhnya bola tersebut mengalami 3 kali gerakan turun (panah merah) dan 2 kali gerakan naik (panah biru).
• Barisan yang terbentuk saat bola turun (ditunjukkan oleh panah warna merah) adalah 4,(3434) 4, (34)2(34)2 (4),... = 4, 3, 9494, ....
Barisan ini adalah barisan geometri turun dengan a = 4 dan r =3434
Oleh karena terdapat 3 kali gerakan turun (n = 3), maka panjang lintasan yang terbentuk saat bola turun (S3) adalah
SOAL DAN PEMBAHASAN PENERAPAN BARISAN DAN DERET GEOMETRI


  • Barisan yang terbentuk saat bola naik (ditunjukkan oleh panah warna biru) adalah (3434) 4 , (34)2(34)2 (4), ... = 3, 9494, .... 

Barisan ini adalah barisan geometri turun dengan a = 3 dan r =3434
Oleh karena terdapat 2 kali gerakan naik (n = 2), maka panjang lintasan yang terbentuk saat bola naik (S2) adalah
SOAL DAN PEMBAHASAN PENERAPAN BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Jadi, panjang lintasan yang terbentuk sampai bola menyentuh lantai untuk yang ke 3 kalinya adalah 14, 5 meter.

Soal Deret Geometri dan Pembahasannya II

sumber : rumus-matematika.com

Soal 1.

Tunjukkan bahwa 2+(-6)+18+(-54)+162+ … merupakan deret geometri atau deret ukur !
Penyelesaian :
Syarat deret geometri yaitu memiliki rasio yang tetap.
r = U2/U1 = -6/3 = -3
r = U3/U2 = 18/-6 = -3
r = U4/U3 = -54/18 = -3
r = U5/U4 = 162/-54 = -3
Karena rasionya selalu tetap yaitu -3, maka 2+(-6)+18+(-54)+162+ … merupakan deret geometri atau deret ukur.

Soal 2
Tentukan suku ke-7 dari deret 5+10+20+40+… !
Penyelesaian :
U1 = 5
n = 7
r = 2
Suku ke-n = U1 × rn-1
Suku ke-7 = 5 × 27-1
= 5 × 26
= 5 × 64
= 320

Soal 3.
Tentukan banyak suku dari deret -3+6+(-12)…+96!
Penyelesaian :
U1 = -3
Un = 96
r = 6/-3 = -2
Un = U1 × rn-1
96 = -3 × (-2)n-1
(-2)n-1 = 96 : (-3)
(-2)n-1 = -32
(-2)n-1 = (-2)5
n-1 = 5
n = 6
Jadi, banyak suku pada deret tersebut = 6.


Soal 4.
Dalam suatu deret geometri diketahui U1 = 6 dan U5 = 486. Tentukan besar rasionya ?
Penyelesaian :
U1 = 6
U5 = 486
n = 5
Un = U1 × rn-1
U5 = 6 × r5-1
486 = 6 × r4
r4 = 486/6
= 81
r = ±
r = 3 atau -3
Sehingga rasio deret tersebut yaitu 3 atau -3.


Soal 5.
Dalam suatu deret geometri diketahui U3 = 81 dan U6 = 3. Tentukanlah deret tersebut !
Penyelesaian :
U3 = 81, maka U1 × r² = 81
U6 = 3, maka U1 × r5 = 3
U6/U3 = ( U1 × r5 )/( U1 × r² ) = 3/81
r³ = 1/27
r = akar pangkat 3 dari (1/27)
r = 1/3
U1 × r² = 81
U1 × (1/3)² = 81
U1 × 1/9 = 81
U1 = 81 : 1/9
U1 = 81 × 9
U1 = 729
Jadi deret tersebut adalah 729+243+81+27+…


Soal 6.
Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan rasionya adalah 3. Jika suku tengah deret tersebut = 54, tentukanlah :
a. suku terakhir dari deret tersebut.
b. banyak suku pada deret tersebut.
Penyelesaian :
a. U1 = 2
Ut = 54
r = 3
Ut = √(U1×Un)
54 = √(2×Un)
54² = 2×Un
2.916 = 2Un
Un = 2.916/2
Un = 1.458
Jadi, suku terakhir (Un) dari deret tersebut yaitu 1.458.
b. Un = U1 × rn-1
1.458 = 2 × (3)n-1
(3)n-1 = 1.458/2
(3)n-1 = 729
(3)n-1 = 36
n-1 = 6
n = 7
Maka banyak suku pada deret tersebut adalah 7.

Demikianlah Contoh Soal Deret Geometri dan Penyelesaiannya. Semoga bermanfaat. Selamat belajar dan lupa share artikel ini kepada teman - temanmu.

0 Response to "Contoh Soal Deret Geometri dan Penyelesaiannya"

Posting Komentar

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel