Contoh Soal Integral Parsial Beserta Pembahasan nya

Dalam pengintegralan, selain operasi biasa atau dengan teknik substitusi, ada teknik lain yaitu integral parsial. Teknik ini digunakan jika pada teknik sebelumnya tidak bisa digunakan. Teknik ini merupakan integral dari turunan hasil kali dua fungsi. Berikut ini adalah konsep integral parsial: 

Jika y = U(x) . V(x), maka:




Jika y diganti UV maka:


Karena diketahui bahwa    dan  ,  maka persamaan menjadi:

d(UV) = V . dU + U . dV

U . dV = d(UV) – V . dU

Dengan mengintegralkan kedua ruas dalam persamaan diatas, diperoleh:

Rumus integral parsial:


Perlu diperhatikan untuk memilih U dan dV yang tepat agar pengintegralan memberikan hasil. (dV) harus dipilih yang dapat diintegralkan dengan rumus, sedangkan yang lain menjadi U.

Dalam integral parsial, terkadang bisa menurunkan U dan mengintegralkan dV secara berulang. Jika terjadi proses yang berulang, maka proses dapat diringkas.



Contoh Soal Integral Parsial Beserta Pembahasan nya I

1. Hasil dari ∫x sin x dx dengan menggunakan rumus integral parsial adalah… 

A. – x cos x + sin x + c
B. x cos x + sin x + c
C. x cos x – sin x + c
D. – x sin x + cos x + c
E. x sin x + cos x + c

Pembahasan

Misal:
u = x maka du = dx
dv = sin x dx maka v = ∫sin x dx = – cos x

Jadi,
∫u dv = uv – ∫v du
∫x sin x dx = x . – cos x – ∫(-cosx) dx
∫x sin x dx = – x cos x + sin x + c

Jawaban : A


2.Hasil dari ∫(x + 1) cos 3x dx = …

A. 1/3 (x + 1) sin 3x + 1/9 sin 3x + c
B. 1/3 (x + 1) sin 3x + 1/9 cos 3x + c
C. 1/3 (x + 1) sin 3x – 1/9 cos 3x + c
D. 1/9 (x + 1) sin 3x + 1/3 cos 3x + c
E. 1/9 (x + 1) sin 3x + 1/9 cos 3x + c

Pembahasan

Misal:
u = x + 1 maka du = dx
dv = cos 3x maka v = ∫ cos 3x dx = 1/3 sin 3x
∫u dv = u . v – ∫ v du
∫(x + 1) cos 3x dx = (x + 1) . 1/3 sin 3x – ∫1/3 sin 3x dx
∫(x + 1) cos 3x dx = 1/3 (x + 1) sin 3x – (- 1/9 cos 3x) + c
∫(x + 1) cos 3x dx = 1/3 (x + 1) sin 3x + 1/9 cos 3x + c

Jawaban: B


3.Hasil dari ∫x (x + 4)5 dx = …

A. 1/21 (3x – 2) (x + 4)6 + C
B. 1/21 (3x + 2) (x + 4)6 + C
C. 1/21 (3x – 2) (x – 4)6 + C
D. 1/42 (3x – 2) (x + 4)6 + C
E. 1/42 (3x + 2) (x + 4)6 + C

Pembahasan

Misal:
u = x maka du = dx
dv = (x + 4)5 dx maka v = ∫ (x + 4)5 dx = 1/6 (x + 4)6

Jadi,
∫ x (x + 4)5 = x . 1/6 (x + 4)6 – ∫1/6 (x + 4)6 dx
∫ x (x + 4)5 = 1/6 x (x + 4)6 – 1/6 . 1/7 (x + 4)7 + c
= 1/6x (x + 4)6 – 1/42 (x + 4) (x + 4)6 + c
= (1/6x – 1/42x – 4/42) (x + 4)6 + c
= (6/42 x – 2/21) (x + 4)6 + c
= (3/21 x – 2/21) (x + 4)6 + c
= 1/21 (3x – 2) (x + 4)6 + C

Jawaban: A


4.Hasil dari ∫ (x2 – 1) cos x dx = …

A. (x2 – 1) sin x + 2x cos x + C
B. (x2 + 1) sin x + 2x cos x + C
C. (x2 – 3) sin x + 2x cos x + C
D. (x2 + 3) sin x + 2x cos x + C
E. (x2 + 3) sin x – 2x cos x + C

Pembahasan

u = x2 – 1 maka du = 2x dx
dv = cos x dx maka v = ∫cos x dx = sin x

Jadi,
∫(x2 – 1) cos x dx = (x2 – 1) sin x – ∫sin x . 2x dx …..pers (1)

Disini ∫sin x . 2x dx mesti di integral parsialkan lagi)
y = 2x maka dy = 2 dx
dz = sin x dx maka z = ∫sin x dx = – cos x

Jadi,
∫ sin x . 2x dx = y.z – ∫z dy
∫ sin x . 2x dx = 2x . – cos x – ∫(- cos x) 2 dx = – 2x cos x + 2 sin x (subtitusikan ke pers (1).

∫(x2 – 1) cos x dx = (x2 – 1) sin x – (- 2x cos x + 2 sin x) + C
∫(x2 – 1) cos x dx = (x2 – 1) sin x + 2x cos x – 2 sin x) + C
= (x2 – 3) sin x + 2x cos x + C

Jawaban: C


( sumber : https://matematikasia.wordpress.com/2017/01/30/konten-utama-6/ )



Itulah beberapa contoh soal mengenai integral parsial untuk anda pelajari. Anda dapat memperbesar dan memperluas pengetahuan anda dengan mempelajari dan mengerjakan kembali soal - soal yang ada di atas. Dengan demikian, pemahaman anda akan terus meningkat. Selamat Belajar !!

0 Response to "Contoh Soal Integral Parsial Beserta Pembahasan nya"

Posting Komentar

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel